MATERI TENTANG PERSAMAAN,PERTIDAKSAMAAN,SERTA FUNGSI LOGARITMA DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI

MATERI MATEMATIKA SMA TENTANG PERSAMAAN,PERTIDAKSAMAAN, SERTA FUNGSI LOGARITMA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Persamaan Logaritma

Pengertian
Persamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.

1. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^alog p
Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^alog p, dimana a>0, a ≠1, dan f(x), p>0 kita dapat menggunakan sifat berikut :

^alog f(x) = ^alog p ↔ f(x) = p, asalkan f(x) > 0

2. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^blog f(x)
Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^blog f(x) dengan a ≠b, kita dapat memanfaatkan sifat berikut ini :

^alog f(x) = ^blog f(x) ↔ f(x) = 1

Contoh soal :

3. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^alog g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^alog g(x) dimana a>0, a ≠1, dan f(x), g(x) > 0, kita dapat menggunakan sifat berikut :

^alog f(x) = ^alog g(x) ↔ f(x) = g(x)

asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

4. Persamaan logaritma yang dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat

Persamaan logaritma dalam bentuk umum seperti berikut A^alog² f(x) + B ^alog f(x) + C = 0, a>0, a ≠1, dan f(x) > 0 serta A,B,C € R

Hal tersebut memiliki persamaan penyelesaian yang hampir sama dengan penyelesaian eksponen yang bisa kita nyatakan dalam persamaan kuadrat

5. Persamaan logaritma berbentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x), dimana h(x)>0, h(x) ≠1 dan f(x) g(x) > 0, kita dapat menggunakan sifat berikut ini :

^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x) ↔ f(x) = g(x)

Sifat-sifat  Logaritma
Menetukan logaritma dapat menggunakan tabel logaritma, kalkulator atau menggunakan rumus-rumur  sebagai beriktu: 

• ^alog a = 1
• ^a log bⁿ = n.^alog b
• ^anlog b^m = m/n ^alog b 
• ^alog b + ^alog c = ^alog (b.c)
• ^alog b - ^alog c = ^alog (b/c)
• (^alog b)(^blog c) = ^alog c
• a^(  ^alog b )=b
• a^( ^blog c)= b^( ^alog c )

Persamaan Logaritma

Jika diketuhi fungsi f(x) dan g(x) maka bentuk-bentuk persamaan logaritma yang mungkin muncul adalah sebagai berikut

1. ^alog f(x) = ^alog g(x)  artinya f(x) = g(x) dan  syarat f(x) > 0 , g(x) > 0
2. ^alog f(x) = ^blog f(x)   artinya f(x) = 1     dan  syarat f(x) > 0
3. A(  ^alog ² f(x)) + B( ^alog f(x)) + C = 0, pemisalan:  ^alog f(x) = p

Pertidaksamaan Logaritma

1. ^alog f(x) > ^alog g(x) artinya 
• jika a > 0 maka berlaku  f(x) > g(x)
• jika 0< a < 1 maka berlaku  f(x) < g(x)
• syarat logaritma    f(x) > 0 , g(x) > 0

Fungsi Logaritma

      y = f(x) = ^alog x 
      a > 1
     sifat - sifat
     * monoton naik
     * memotong sumbu-x di titik (1,0)
     * kurva selalu di sebelah kanan sumbu-y
     * mempunyai asimtot x = 0
     * x maks maka y maks
     * x min maka y min
     

       y = f(x) = ^alog x
      0 < a < 1
     sifat - sifathttps://www.blogger.com/blogger.g?blogID=6088478815924760221#editor/target=post;postID=831689155589554867
     * monoton turun
     * memotong sumbu-x di titik (1,0)
     * kurva selalu di sebelah kanan sumbu-y
     * mempunyai asimtot x = 0
     * x maks maka y min
     * x min maka y maks

 

PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA.

Pengertian
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.

Pada fungsi-fungsi logaritma standart, penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma matematika menggunakan sifat fungsi monoton turun dan monoton naik, apa itu? berikut penjelasannya.

 Perlu diingat bahwa fungsi Logaritma hanya berlaku untuk bilangan positif. Sehingga pada pertidaksamaan logaritma a log f(x) > a log g(x), langkah-langkah penyelesainnya adalah sebagai berikut :

KETENTUAN
a^P = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor
(a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen)
SIFAT-SIFAT

1. ap . aq = ap + q	5. a0 = 1
2. ap . aq = ap – q	6. a – p = 1/ap
3. (ap)q = apq	7. am/n = nÖ(am)
4. (a.b)p = ap . bp

contoh:

1. 3^pq+q . 3^2p)/(3^pq+p . 3^2q) = (3^pq+q+2p)/(3^pq+p+2q) = 3^p-q
2. (0,0001)^-1 Ö0,04 = (10^-4)^-1(0,2) = (10⁴)(0,2) = 2000
3. (0,5)² + 1/⁵Ö32 + ³Ö0,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25
   [ket : 32 = 2⁵ ; 0,125 = (0,5)³ ]
4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka2p^-1/2 – 3p⁰ + q^4/3 = 2(2⁴)^-1/2 – 3(2⁴)⁰ + (3³)^4/3
   = 2(2^-2) – 3(1) + 3⁴ = 2^-1 -3(1) + 81
   = 1/2 – 3 + 81 = 78 1/2

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah).
[Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].
BENTUK-BENTUK
A. a^f(x) = a^g(x) ® f(x) = g(x)
® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat        disamakan.
contoh :
2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

1. Ö(8^2x-3) = (32^x+1)^1/4
   (2³)^(2x-3)1/2 = (2⁵)^(x+1)1/4
   2^(6x-9)/2 = 2^(5x-5)/4
   (6x-9)/2 = (5x-5)/4
   24x-36 = 10x+10
   14x = 46
   x = 46/14 = 23/7
2. 3^x²-3x+2 + 3^x²-3x = 10
   3².3^x²-3x+3^x²-3x = 10
   9. ^3x²-3x + 3^x²-3x = 10
   10. 3^x²-3x = 10
   3^{x² – 3x} = 3⁰
   x² – 3x = 0
   x(x-3) = 0
   x1 = 0 ; x2 = 3
   

3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN

1. 2^{2x + 2} – 2 ^x+2 + 1 = 0
   2².2^2x – 2².2^x + 1 = 0
   Misalkan : 2^x = p
   2^2x = (2x)² = p²
   4p² -4p + 1 = 0
   (2p-1)² = 0
   2p – 1 = 0
   p =1/2
   2^x = 2^-1
   x = -1
2. 3^x + 3^3-x – 28 = 10
   3x + 3³/3^x – 28 = 10
   misal : 3^x = p
   p + 27/p – 28 = 0
   p² – 28p + 27 = 0
   (p-1)(p-27) = 0
   p1 = 1 ® 3^x = 3⁰
   x1 = 0
   p2 = 27 ® 3^x = 3³
   x2 = 3
   
   

B. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) = 0
Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.
Contoh:

1. 3^x²-x-2 = 7^x²-x-2
   x² – x -2 = 0
   (x-2)(x+1) = 0
   x1 = 2 ; x2 = -1

C. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) log a = g(x) log b
Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.
Contoh:

1. 4^x-1 = 3^x+1
   (x-1)log4 = (x+1)log3
   xlog4 – log4 = x log 3 + log 3
   x log 4 – x log 3 = log 3 + log 4
   x (log4 – log3) = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x = log 12/ log 4/3 = ^4/3 log 12

D. f(x) ^g(x) = f(x) ^h(x)
® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau        beberapa kemungkinan.

1. Pangkat sama g(x) = h(x)
   
2. Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1^g(x) = 1^h(x) = 1
   
3. Bilangan pokok f(x) = -1
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai
   pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.
   
   ket :
   g(x) dan h(x) Genap : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = 1
   g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = -1
   
4. Bilangan pokok f(x) = 0
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.
   
   ket : g(x) dan h(x) positif ® 0^g(x) = 0^h(x) = 0

Contoh:
(x² + 5x + 5)^3x-2 = (x² + 5x + 5)^2x+3

1. Pangkat sama
   3x – 2 = 2x + 3 ® x1 = 5
2. Bilangan pokok = 1
   x² + 5x + 5 = 1
   x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4
3. Bilangan pokok = -1
   x² – 5x + 5 = -1
   x² – 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x = 1 ; x = 4 g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7
   g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1
   
4. Bilangan pokok = 0
   x² – 5x + 5 = 0 ® x_5,6 = (5 ± Ö5)/2 kedua-duanya memenuhi syarat, karena :
   g(2 1/2 ± 1/2
   Ö5) > 0
   h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
   Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :
   HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2
   Ö5}

Bilangan Pokok a > 0 ¹ 1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < a < 1
af(x) > ag(x) ® f(x) > g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) < g(x) (tanda tetap)	af(x) > ag(x) ® f(x) < g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) > g(x) (tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.
Misal : 1/8 = (1/2)³ = 2^-3
Contoh:

1. (1/2)^2x-5 < (1/4)^(1/2x+1)
   (1/2)^2x-5 < (1/2)^2(1/2x+1) Tanda berubah (0 < a < 1)
   2x – 5 > x +2
   x > 7
2. 3^2x – 4.3^x+1 + 27 > 0
   (3^x)² – 4.3¹.3^x + 27 > 0
   misal : 3^x = p
   p² -12p + 27 > 0(p – 9)(p – 3) > 0

BATASAN Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b. a log b = c ® ac = b ® mencari pangkat Ket : a = bilangan pokok    (a > 0 dan a ¹ 1) b = numerus            (b > 0) c = hasil logaritma Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa : alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n SIFAT-SIFAT 1. alog bc = alogb + alogc 2. alog bc = c alog b 3. alog b/c = alog b –alog c ® Hubungan alog b/c = – a log b/c 4. alog b = (clog b)/(clog a) ® Hubungan alog b = 1 / blog a 5. alog b. blog c = a log c 6. a alog b = b 7. alog b = c ® aplog bp = c ® Hubungan : aqlog bp = alog bp/q = p/q alog b Keterangan: Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.[ log 7 maksudnya 10log 7 ] lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n Bedakan dengan log xn = n log x Contoh: Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x – x²) dapat diselesaikan ! syarat : numerus > 0 x² -4x – 5 < 0 (x-5)(x+1) < 0 -1 < x < 5 Sederhanakan 2 3log 1/9 + 4log 2 = 2(-2) + 1/2 = 3log 2. 2log 5 .52log 3 3log 2.2log 5. 5²log3 – 3 1/2 =   -3 1/2 = -7 3log 31/2 1/2 Jika 9log 8 = n   Tentukan nilai dari 4log 3 !9log 8 = n 3²log 2³ = n 3/2 3log 2 = n 3log 2 = 2n 3 4log 3 = 2²log 3 = 1/2 ²log 3 = 1/2 ( 1/(³log 2) ) = 1/2 (3 / 2n) = 3/4n Jika log (a² / b4)      Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) ! log (a²/b4) log (a/b²)² 2 log ( a/b²) log ( a/b² ) log ³Ö(b²/a) = -24 = -24 = -24 = -12 = log (b²/a)1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = 4

Masalah : Menghilangkan logaritma alog f(x) = alog g(x) ® f(x) = g(x) alog f(x) = b ® f(x) =ab f(x)log a = b ® (f(x))b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 ) Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ! xlog 1/100 = -1/8 x-1/8 = 10-2 (x -1/8) -8 = (10-2)-8 x = 10 16 xlog 81 – 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6 xlog 34 – 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6 4 xlog3 – 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6 3 xlog 3 = 6 xlog 3 = 2 x² = 3 ® x = Ö3 (x>0) xlog (x+12) – 3 xlog4 + 1 = 0 xlog(x+12) – xlog 4³ = -1 xlog ((x+12)/4³) = -1 (x+12)/4³ = 1/x x² + 12x – 64 = 0 (x + 16)(x – 4) = 0 x = -16 (TM) ; x = 4 ²log²x – 2 ²logx – 3 = 0misal :   ²log x = p p² – 2p – 3 = 0 (p-3)(p+1) = 0 p1 = 3 ²log x = 3 x1 = 2³ = 8 p2 = -1 ²log x = -1 x2 = 2-1 = 1/2 Bilangan pokok a > 0 ¹ 1 Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a > 1 0 < a < 1 a log f(x) > b ® f(x) > ab a log f(x) < b ® f(x) < ab (tanda tetap) a log f(x) > b ® f(x) < ab a log f(x) < b ® f(x) > ab (tanda berubah) syarat f(x) > 0 Belajar metematika gak usah terlalu tegang bawa santai aja.. Mungkin hanya itu yang bisa saya poskan semoga membantu...